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확률32

베이불분포와 베타분포-확률과 통계(13) 베이불분포와 베타분포 본 포스팅에서는 베이불분포(Weibull distribution)와 베타분포(Beta distribution)에 대해 다루도록 한다.각 분포의 확률밀도함수(PDF), 누적분포함수(CDF), 예상치(평균)과 분산 그리고 그 증명에 대해 다루도록한다. 베이불분포(Weibull distribution) 베이불분포(Weibull distribuition)는 발로디 베이불(Waloddi Weibull)에서 이름을 따왔으며, 실패할 때까지의 시간(예: 부품의 수명, 고장 등) 혹은 대기시간을 모델링하는데 유용한 분포이다. ○ 지수확률변수와 베이불확률변수는 (0, ∞)범위를 갖는다. ○ 아래 그림은 각 매개변수에 따른 베이불분포의 형상을 보여준다. 확률밀도함수(PDF)베이불분포의 확률밀도함수는 .. 2020. 7. 23.
감마분포(Gamma Distribution)-확률과 통계(12) 감마분포(Gamma Distribution) 본 포스팅에서는 감마분포(Gamma Distribution)에 대해 다루도록 한다.감마분포를 설명하기에 앞서 감마함수에 대한 간략한 설명을 다루고 이후에는 감마분포의 확률밀도함수(PDF) 예상치(평균)과 분산값, 그리고 그 증명, 감마분포의 특징 등을 설명한다. 감마함수와 감마함수의 계산 감마분포를 설명하기에 앞서 감마함수에 대한 설명을 간략히 진행한다. 감마함수(Gamma Function)의 정의감마함수는 다양한 형태로 정의되는데 이 포스팅에서는 다음과 같이 적분형태의 정의로 소개한다. ○ 이 형태는 오일러적분이라고도 불린다. 감마함수의 특성다음과 같이 치환을 이용하면 감마함수로 바꿀 수 있는데 이는 감마분포를 푸는대 매우 유용하다. 아래와 같은 특성은 감마.. 2020. 7. 22.
푸아송과정과 적률생성함수-확률과 통계(11) 푸아송과정과 적률생성함수 본 포스팅에서는 푸아송 과정(Poisson Process)과 적률생성함수(Moment Generation Function)에 대해 다루도록 한다. 추가적으로 독립증분(Independent Increment)과, 고정증분(Stationary Increment), 푸아송 과정과 지수분포간의 관계, 적률의 정의와 적률생성함수의 중요한 특성 두 가지를 설명하도록 한다. 푸아송과정(Poisson Process) 푸아송과정은 사건 발생 간의 시간(혹은 공간) 간격이 파라미터 λ를 사용하는 지수분포를 따르는 확률 과정이다. ○ 아래 그림은 푸아송과정의 예를 그림으로 보여준다. 확률질량함수(PMF)X는 고정된 시간(혹은 공간) 간격 t에서 일어나는 사건의 수라면 다음과 같다. 위의 식은 푸아송.. 2020. 7. 21.
연속균등분포와 지수분포-확률과 통계(10) 연속균등분포와 지수분포 본 포스팅에서는 연속균등분포(Continuous Uniform Distribution), 지수분포(Exponential Distribution)에 대해 다루도록 한다.더 상세하기는 각 분포의 예상치(평균), 분산의 증명과 지수분포에서 무기억성(Memoryless)의 특징에 대해 다뤄보도록한다. 연속균등분포(Continuous Uniform Distribution) 균등분포는 말 그대로 입력변수 x 값에 따라 균등한 확률을 가지는 분포를 의미하며 가장 단순한 확률분포 중 하나이다.X~U(a, b)로 표현할 수 있으며, a와 b사이의 값을 가지며, U(0,1)인 경우는 표준연속균등분포라 칭한다.확률밀도함수와 누적분포함수는 다음과 같이 표현 가능하다. 확률밀도함수(PDF) 누적분포함수(.. 2020. 7. 19.
푸아송분포, 다항분포-확률과 통계(9) 푸아송분포, 다항분포 본 포스팅에서는 푸아송분포(Poisson Distribution)와 다항분포(Multinomial Distribution)에 대해서 다루도록 한다.추가적으로 푸아송분포의 예상치(평균)와 분산의 증명에 대해서도 다뤄보도록 한다. 푸아송 분포(Poisson Distribution) 푸아송 분포는 특정 경계(시간, 공간 등) 내에서 일어나는 사건의 수의 분포를 나타낸다.다음은 푸아송 분포가 사용되는 예이다. ○ 특정 구역에서 탐지된 물건의 수 ○ 물질에서 방출되는 방사성입자의 수 ○ 주어진 시간에 전화교환원이 받은 전화의 수 파라미터 λ를 사용하는 푸아송의 확률변수라고 불려지는 확률변수 X는 다음과 같이 표현이 가능하다.푸아송 분포의 평균과 분산은 모두 λ로 동일하다. 확률질량함수(PMF.. 2020. 7. 16.
기하분포, 음이항분포, 초기하분포-확률과 통계(8) 기하분포, 음이항분포, 초기하분포 본 포스팅에서는 기하분포(Geometric Distribution), 음이항분포(Negative Binomial Distribution), 초기하분포(Hypergeometric Distribution)에 대해 다루도록한다.추가적으로 복원추출(with replacement)과 비복원추출(without replacement)이 무엇인지, 그리고 각 분포의 예상치(평균)와 분산의 증명과정에 대해서도 다뤄보도록 한다. 기하분포(Geometric Distribution) 독립적인 베르누이 시행(Bernoulli Trial)을 여러번 수행할 때 처음 성공까지 시도한 횟수의 분포이다. ○ 즉, 베르누이 시행에서 첫 성공까지의 실패 횟수의 분포이다. ○ 따라서 한번의 성공을 반드시 포.. 2020. 7. 16.
베르누이 시행과 이항분포-확률과 통계(7) 베르누이 시행과 이항분포 본 포스팅에서는 이항분포의 기초적인 내용에 대한 내용을 다루도록 한다.베르누이 확률변수(Bernoulli Random Variable)와 베르누이 시행(Bernoulli Trial), 이항분포(Binomial Distribution), 대칭이항 분포(Symmetric Binomial Distribution)에 대해 설명한다. 또한 이항분포의 예상치(평균)와 분산의 증명에 대해서도 설명한다. 베르누이 확률변수(Bernoulli Random Variables)와 베르누이 시행(Bernoulli Trial) 베르누이 확률변수(Bernoulli Random Variable) ○ 베르누이 확률변수는 0(실패)과 1(성공)으로만으로 결과를 표현한 확률변수이다. 베르누이 시행(Bernoull.. 2020. 7. 14.
확률변수의 선형함수와 선형조합-확률과 통계(6) 확률변수의 선형함수와 조합 본 포스팅에서는 확률변수의 선형함수(Linear Function)와 선형 조합(Linear Combination)에 대해 다루도록 한다.좀 더 상세하게는 확률변수의 표준화(Standardization)와 확률변수의 합 그리고 독립적인 확률변수의 평균화역시 다루도록 한다. 확률변수의 선형 함수 만약 각각의 확률변수 X, Y가 다음과 같은 선형적인 연관성(Y=aX+b)을 가지는 경우도 존재한다. ○ 이와 같이 함수에 따른 각 변수가 함수형태의 연관성을 가지고 있을 경우 각 변수를 다음과 같이 표현한다. ▷ X를 원인변수(Explanatory variable)라 칭한다. ▷ Y를 종속변수(Dependent variable)라 칭한다. 두 변수가 선형적인 관계를 가지고 있을 경우 예상.. 2020. 7. 13.
결합확률, 공분산, 상관계수-확률과 통계(5) 결합확률, 공분산, 상관계수 본 포스팅에서는 결합확률(Joint Probability)과 공분산(Covariance), 상관계수(Correlation)에 대한 내용을 다루도록 한다.그리고 결합확률과 관련된 내용인 주변확률분포(Marginal Probability Distribution)와 조건부확률분포(Conditional Probability Distribution)에 대해서도 다뤄보도록 한다. 결합확률(Joint Probability) 결합확률(Joint Probability)결합확률은 두 가지 사건이 동시에 일어날 확률을 의미한다. ○ 예를들어 A라는 사건과 B라는 사건이 동시에 일어날 확률을 의미하므로 조건부 확률과는 다른 개념이다.따라서 다음과 같이 2차원 형태로 확률을 표시할 수 있다. 이산형.. 2020. 7. 12.
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