베르누이 시행과 이항분포-확률과 통계(7)

베르누이 시행과 이항분포

본 포스팅에서는 이항분포의 기초적인 내용에 대한 내용을 다루도록 한다.

베르누이 확률변수(Bernoulli Random Variable)와 베르누이 시행(Bernoulli Trial), 이항분포(Binomial Distribution), 대칭이항 분포(Symmetric Binomial Distribution)에 대해 설명한다. 

또한 이항분포의 예상치(평균)와 분산의 증명에 대해서도 설명한다.

 

베르누이 확률변수(Bernoulli Random Variables)와 베르누이 시행(Bernoulli Trial)

베르누이 확률변수(Bernoulli Random Variable)

  ○ 베르누이 확률변수는 0(실패)과 1(성공)으로만으로 결과를 표현한 확률변수이다.

 

베르누이 시행(Bernoulli Trial)

  ○ 베르누이 시행은 오직 두 가지의 결과로 표현할 수 있는 과정 및 절차이다.

     ▷ 위의 과정을 한번만 시행하는 것이다.

  ○ 베르누이 시행은 베르누이 확률변수를 사용하므로 결과는 0과 1로 나타낼 수 있다.

  ○ 각각의 확률 p는 0과 1사이의 값을 가지며, 결과 1의 확률을 나타낸다.

  ○ 베르누이 시행의 예로는 다음과 같은 것들이 있다.

     ▷ 예) 동전던지기, 밸브 개폐여부, 물건 발견 여부, OX퀴즈

예상값(Expectation)과 분산(Variance)

베르누이 시행에서의 예상치와 분산은 다음과 같다.

예상치와 분산의 유도과정

베르누이 시행의 예상치와 분산 공식의 유도과정은 다음과 같다.

이항분포(Binomial Distribution)

이항분포는 독립적인 베르누이 시행을 여러번 수행할 때 성공횟수의 분포를 나타낸다.  

이를 더 자세히 알아보기 위해 확률 실험을 수행할 때 각각의 시행이 베르누이 시행이며 독립적이고 동일한 확률 p를 가지는 경우를 고려해보자.

이때 성공 X의 총 수는 파라메터 n과 p인 이항분포를 가지는 확률변수이며 다음과 같이 표현이 가능하다.

이항분포의 확률질량함수(PMF)

B(n, p)확률변수의 확률질량함수(PMF)는 다음과 같다.

예상값(Expectation)과 분산(Variance)

이항분포의 예상치와 분산은 다음과 같이 계산된다.

대칭 이항분포(Symmetric Binomial Distribution)

이항분포에서 성공확률 p가 정확히 반인 경우를 대칭 이항분포라 한다.

  ○ 즉, B(n, 0.5)는 대칭확률분포이며 n이 어떤 값을 가지던 대칭이다.

대칭이항분포의 예상치와 분산은 다음과 같다.