베이불분포와 베타분포-확률과 통계(13)

베이불분포와 베타분포

본 포스팅에서는 베이불분포(Weibull distribution)와 베타분포(Beta distribution)에 대해 다루도록 한다.

각 분포의 확률밀도함수(PDF), 누적분포함수(CDF), 예상치(평균)과 분산 그리고 그 증명에 대해 다루도록한다.

베이불분포(Weibull distribution)

베이불분포(Weibull distribuition)는 발로디 베이불(Waloddi Weibull)에서 이름을 따왔으며, 실패할 때까지의 시간(예: 부품의 수명, 고장 등) 혹은 대기시간을 모델링하는데 유용한 분포이다.

  ○ 지수확률변수와 베이불확률변수는 (0, ∞)범위를 갖는다.

  ○ 아래 그림은 각 매개변수에 따른 베이불분포의 형상을 보여준다.

확률밀도함수(PDF)

베이불분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

누적분포함수(CDF)

베이불분포의 누적분포함수는 다음과 같다.

예상치(Expectation)와 분산(Variance)

베이불분포의 예상치와 분산은 다음과 같이 감마함수를 통하여 계산될 수 있다.

예상치와 분산의 증명

베이불분포의 분위수

베이불 분포의 분위수는 다음과 같이 계산될 수 있다.

베타 분포(Beta distribution)

베타분포(Beta distribution)는 두 매개변수 (a,b)에 따라 [0,1] 구간에서 정의되는 분포이다.

  ○ 제한된 범위에서의 확률적 모델링을 하는데 유용하다(예: 비율, 퍼센테이지 등)

  ○ 아래 그림은 매개변수의 값에 따른 베타분포의 형상을 보여준다.

    ▷ 그림에서 확인할 수 있다시피 0과 1사이에서 다양한 형상을 모델링하는 것이 가능하다. 

확률밀도함수(PDF)

베타분포의 범위는 [0,1]이며, 확률밀도함수는 다음과 같다.

예상치(Expectation)와 분산(Variance)

베타분포의 예상치와 분산은 다음과 같이 비교적 쉽게 계산된다.

예상치와 분산의 증명