감마분포(Gamma Distribution)-확률과 통계(12)

 

감마분포(Gamma Distribution)

 

본 포스팅에서는 감마분포(Gamma Distribution)에 대해 다루도록 한다.

감마분포를 설명하기에 앞서 감마함수에 대한 간략한 설명을 다루고 이후에는 감마분포의 확률밀도함수(PDF) 예상치(평균)과 분산값, 그리고 그 증명, 감마분포의 특징 등을 설명한다.

 

감마함수와 감마함수의 계산

 

감마분포를 설명하기에 앞서 감마함수에 대한 설명을 간략히 진행한다.

 

감마함수(Gamma Function)의 정의

감마함수는 다양한 형태로 정의되는데 이 포스팅에서는 다음과 같이 적분형태의 정의로 소개한다.

  ○ 이 형태는 오일러적분이라고도 불린다.

 

감마함수의 특성

다음과 같이 치환을 이용하면 감마함수로 바꿀 수 있는데 이는 감마분포를 푸는대 매우 유용하다. 

 

아래와 같은 특성은 감마함수의 예상치나 분산을 구하는 경우 유용하게 사용된다.

 

k가 하나의 정수일 경우에는 다음과 같은 관계를 따른다.

 

 

감마분포(Gamma Distribution)

 

감마분포는 2개의 매개변수(k, λ)와 감마함수를 사용하는 연속확률분포이다.

  ○ 신뢰성이론과 수명시험(life-testing)에서 유용하다.

  ○ 베타분포나 베이불분포와 같이 감마함수와 관련된 중요한 분포들이 존재한다.

  ○ 만약 감마확률변수의 매개변수가 (1,λ)라면 이는 매개변수가 λ인 지수확률변수와 동일하다.

  ○ 아래 그림은 매개변수에 따른 감마분포의 형상을 보여주는 그림이다. 

 

확률밀도함수(PDF)

매개변수 k>0와 λ>0을 갖는 감마분포의 확률밀도함수는 다음과 같다. 

 

예상치(Expectation)와 분산(Variance)

예상치와 분산은 다음과 같이 계산될 수 있다.

 

예상치와 분산의 증명

 

 

 

감마확률분포의 특징

감마확률분포가 가지는 몇 가지 특징은 다음과 같다.

  ○ 를 매개변수로 사용하는 감마확률변수는 λ을 매개변수로 사용하는 지수분포와 동등하다. 

  ○ 만약 가 λ을 매개변수로 사용하며 각각 독립적인 지수함수라면, 는 를 매개변수로 사용하는 감마함수이다.

  ○ 만약 가 를 가지는 독립적인 감마확률변수라 가정하자.

    ▷ 이 경우 확률변수의 합 은 를 매개변수로 가지는 감마확률변수이다. 

    ▷ 이러한 특성은 적률생성함수(MGF)을 사용하여 증명된다.

    ▷ 해당 내용의 증명은 아래에 설명되어 있다.

 

증명

 

두 확률변수 X, Y가 독립적이라면 X+Y의 MGF는 다음과 같이 주어진다.

 

만약 이 독립적인 지수확률변수고 각각 λ값을 가진다면, 는 를 가지는 감마확률변수이다.

즉,