푸아송과정과 적률생성함수-확률과 통계(11)

푸아송과정과 적률생성함수

본 포스팅에서는 푸아송 과정(Poisson Process)과 적률생성함수(Moment Generation Function)에 대해 다루도록 한다. 

추가적으로 독립증분(Independent Increment)과, 고정증분(Stationary Increment), 푸아송 과정과 지수분포간의 관계, 적률의 정의와 적률생성함수의 중요한 특성 두 가지를 설명하도록 한다.

푸아송과정(Poisson Process)

푸아송과정은 사건 발생 간의 시간(혹은 공간) 간격이 파라미터 λ를 사용하는 지수분포를 따르는 확률 과정이다.

  ○ 아래 그림은 푸아송과정의 예를 그림으로 보여준다.

확률질량함수(PMF)

X는 고정된 시간(혹은 공간) 간격 t에서 일어나는 사건의 수라면 다음과 같다.

위의 식은 푸아송 분포와 거의 동일한 것을 확인할 수 있다.

  ○ 다만 푸아송분포와의 차이는 푸아송과정의 PMF에서 λt가 들어갈 자리에 푸아송분포에서는 λ만이 들어간다.

  

※ 독립증분(Independent Increment)과 고정증분(Stationary Increment)

독립증분: 확률적 과정 X(t)는 만약 X(t2)-X(t1)과 X(t4)-X(t3)이 t1<t2<t3<t4이고 통계적으로 독립적인 경우 독립 증분을 가지는 것으로 불려진다. 아래 그림은 독립증분의 예를 보여준다.

고정 증분: 확률적 과정 X(t)는 만약 X(t2+s)-X(t1+s)과 X(t2)-X(t1)이 t1<t2, s>0이고 같은 분포를 가진다면 고정 증분을 가진다고 불려진다. 아래 그림은 고정증분의 예를 보여준다.

 

푸아송과정(Poisson Process)의 가정

사건이 임의의 시점에 일어난다고 가정하고 N(t)가 시간간격 [0, t]에서 사건이 일어나는 수를 나타낸다고 해보자.

그때에, N(t)는 푸아송과정이라고 불려지며 파라미터 λ를 가진다. 그리고 다음과 같은 가정을 가진다.

  ○ t가 0일 때, 사건은 발생하지 않는다. 즉, 

  ○ 시간간격 사이에서 발생하는 사건의 수는 독립적이다. (독립증분) 

  ○ N(t)의 분포는 간격의 길이에 의존적이다. (고정증분)

푸아송과정과 지수분포 간의 관계

푸아송 과정에 대해서는 X1이 첫번째 사건이 일어나는 시간을 타나낸다. 

Xn은 n번째와 n-1번째 사건 간의 시간을 나타낸다.

이때의 순서열은 도착간 시간(inter-arrival times)의 순서열로 불린다.

 

Xn의 분포:

사건 {X1>t}에서 만약 푸아송과정의 사건이 일어나지 않는다면,

유사하게,

이와 같은 방법으로 X1, X2,..에 대해 반복해서 수행하는 한다면 독립 지수확률변수는 평균 1/λ을 갖는다.

 

적률생성함수(MGF, Moment Generating Function)

 

적률(모멘트, Moment)의 정의

확률변수 X의 n번째의 적률(모멘트)은 다음과 같이 정의된다.

위의 정의는 물리학에서 돌림힘, 토크(Torque), 모멘트(Moment)라 불리는 개념에서 가져왔다고 볼 수 있다.

적률생성함수(MGF, Moment Generating Function)의 정의

수학자들은 확률변수 X의 적률을 좀 더 쉽게(?) 계산하기 위해 적률생성함수 Φ(t)를 다음과 같이 정의하여 만들어놓았다.

 

이렇게 정의된 MGF를 Φ(t)를 연속적으로 미분함으로써, n차 적률을 얻을 수 있다.

  ○ 이것이 MGF를 활용하는 중요한 이유중 하나이다.

  ○ 아래 예제는 MGF를 한번 미분한 것을 보여준다.

위의 식에서 t에 0을 대입하면 다음과같이 1차 적률 즉 기대값(평균)을 얻을 수 있다.

따라서 다음과 같이 일반적으로 t=0일 때 Φ(t)의 n번째 미분값은 n차 적률 과 동일하다.

MGF의 중요한 특성 두가지

1) 독립 확률 변수의 합으로 구성된 MGF는 각각의 MGF들의 곱(product)으로 표현할 수 있다. 

  ○ 즉, 두 독립 확률변수 X Y에 대해 우리는 다음과 같이 표현할 수 있다. 

2) MGF의 집합과 분포함수 집합간에 일대일 대응이 존재한다. 

  ○ 이는 만약 두 확률변수 X Y의 MGF가 같다면,  두 확률변수는 같은 분포함수를 가진다.