열역학3- 사이클 및 검사질량에서의 열역학 제 1법칙

사전지식

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에서 열과 일의 정의 부분

사이클 변화에 대한 열역학 제 1법칙

열역학 제 1법칙, 즉 에너지 보존법칙에 의해 사이클 변화를 할 때, 전 사이클에 걸친 열의 합과 전 사이클에 거친 일의 합이 0이 된다. 간단히 말하자면 한 사이클이란 상태가 계속 변하다가 결국엔 원래에 상태에 돌아오게 되는 것이므로 사이클이 한 바퀴 돌았을 때 들어오고 나간 에너지가 0이 된단 뜻이다.

즉 수식으로 표현한다면 이러한 식이 나오는대 이를 좌변으로 이항하면

   

이러한 식이 되는데 이 경우는 들어오는 에너지가 일이냐 열이냐에 상관없이 모두 +인 경우이다. 앞서 설명한 일과 열의 부호가 반대라는 것을 생각해 본다면

   

사이클에 변화에 대한 열역학 제 1법칙에 대한 식은 이러한 식을 얻을 수 있다.

검사 질량의 상태변화에서 열역학 제 1법칙

앞서 얻었던 사이클에 대한 열역학 제 1법칙 식을 생각해보자

아래에 그래프를 예를 들어 1상태에서 A과정을 통해 2상태로 갔다가 다시 2상태에서 B과정을 통해 1상태로 되돌아간 경우를 생각해본다면 위 식은 그림 아래와 같은 식이 된다.

  

마찬가지로 C과정과 B과정을 거치는 사이클을 생각해본다면 

  

이 두식이 주어진다. 이 두 식을 다음과 같이 빼준다면

위와 같은 식이 나온다. 저 식을 A과정과 C과정에 대한 식으로 묶는다면 

  

이와 같은 식이 되는데 과정 A와 C는 임의의 과정이므로 이 식을 통하여 열전달량과 일은 경로함수로 표현되지만 는 경로에 상관없이 처음상태와 최종 상태만으로 결정되는 점함수인 것을 알 수 있고, 한 상태량의 미분이라고 할 수 있다. 즉 다음과 같이 정의될 수 있다.

 

E는 상태량이므로 완전 미분이 되기 때문에 dE로 표현된다. 이 식을 상태 1에서 2까지 적분한다면.

E1과 E2는 각각 검사 질량의 최초 상태(상태 1)와 최종 상태(상태 2)의 상태량이고 1Q2는 상태 1에서 상태 2 동안 검사 질량에 전달된 열량이고, 1W2는 이 과정 동안 검사 질량이 한 일을 나타낸다. 검사질량이 여러 부분으로 구성되어 있다면 여러 개의 부분 시스템으로 구성될 수 있다. 이 경우, 위 식의 제 1법칙에 의해 개별적으로 해석한 후, 종합해야 한다. 일반적으로 위 식은 다음과 같이 표현될 수 있다. 

에너지 변화량 = +유입에너지 - 유출에너지

위 식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

U는 내부 에너지, KE는 운동 에너지, PE는 위치에너지 이다. 내부 에너지는 이런 형태 말고도 배터리에 저장된 화학적 에너지, 축전지에 저장된 에너지, 전기 에너지, 분자의 운동과 위치에 관한 에너지, 원자의 구조에 관한 에너지 이러한 에너지는 내부 에너지 U에 다 포함된다. 

검사 질량의 운동 에너지와 위치 에너지는 설정하는 좌표계와 연관이 있으며, 질량 속도, 높이 등의 거시적 변수에 의해 결정된다. 내부 에너지 U는 검사 질량의 운동 에너지와 위치 에너지를 제외한 모든 에너지를 포함하며, 시스템의 열역학 상태와 관련이 있다. 

에너지 E를 구성하는 모든 항들이 점함수 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다. 

따라서 상태 변화에 대한 열역학 제 1법칙은 위와 같이 표현된다. 

운동에너지와 위치에너지 구하는 과정

여기서 dKE 힘의 정의로부터 따라서 위 식에 대해 적분한다면 위치에너지에서도 유사한 식을 얻을 수 있다. 이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 

따라서 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

g를 일정하다고 가정하여 이 식을 상태 1에서부터 2까지 적분한다면

따라서 검사 질량에 대한 열역학 제 1법칙은 다음과 같이 된다.