열역학5-질량보존법칙과 검사체적에서의 제 1법칙

문제해석 및 풀이 기법

① 무엇이 검사 체적 혹은 검사 질량인가? 두 개 이상이 필요하거나 유리한가? 개략도를 그리고 일과 열의 흐름과 외부 압력, 중력과 같은 힘을 표시한다.

② 초기 상태는 무엇을 알고 있는가?

③ 나중 상태는 무엇을 알고 있는가?

④ 과정에 대해서는 무엇을 알고 있는가? 상수이거나 0인 것이 있는가? 두 상태량 간의 함수관계를 알고 있는 것이 있는가?

⑤ 위의 2, 3, 4단계 내용을(T-v 혹은 P-v 선도와 같은) 선도 상에 그리는 것이 도움이 되는가?

⑦ 문제 해석에 사용하는 법칙은 무엇인가?(즉, 검사 표면에서 각종 일, 제 1법칙과 질량 보존 법칙을 검토 하는가?)

⑧ 풀이 기법은 무엇인가? 7단계까지 분석한 내용으로부터 어떻게 답을 얻을 수 있는가? 시행착오법이 필요한가?

질량 보존 법칙

질량은 에너지와 같이 생성되거나 소멸되지 않는다.(상대성 이론 무시할 경우)

이 법칙을 수학적으로 표현 한다면,

변화량 = +유입량 -유출량

검사체적에 출입하는 유동이 여러 가지일 경우에는

여기서, 는 검사 체적으로 유입되는 질량유량이며,  는 검사체적 밖으로 나가는 질량유량이다.

이 식은 검사체적 내의 총 질량에 대한 표현인대, 연속 방정식이라고 부르기도 한다. 

검사체적의 상태가 다른 여러 질량의 조합으로 구성되어있는 경우는 아래와 같이 고려되어야 한다.

여기서 는 밀도 V는 체적이며 는 검사 체적 일부분의 질량을 나타낸다.

체적 유량과 질량 유량의 관계식

체적 유량()이 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서 는 평균 유속이며, 는 특정 지역에서의 부분유속 A는 면적이다. 

평균 유속을 사용하여 질량유량()을 계산하면 다음과 같이 계산된다.

여기서 v는 비체적이다. 이 식은 정지하고 있는 검사면에 유도되었고, 유동은 배관의 단면에 대하여 수직이라고 가정하고 있다.

아인슈타인 상대성 이론

여기서, E는 에너지, m은 질량 c는 빛의 속도이다.

이 식은 아인슈타인 상대성 이론의 유명한 식이다. 이 식을 본다면 시스템 에너지가 변할 때, 시스템 질량이 변한다는 것을 알 수 있다. 다음 예를 보자

견고한 용기에서 연소가 일어난 후 다시 원래 온도로 돌아갔을 때 2900kJ만큼 에너지가 방출된다. 이때 줄어든 질량을 계산해 본다면 빛의 속도가 약 299790000 m/s이므로 E값과 c값에 각각 대입하면

위와 같은 매우 작은 양의 질량이 감소 한 것을 알 수 있다. 따라서 대부분의 열역학 문제에서 고려할만한 오차는 발생하지 않는다고 볼 수 있다.

 

검사체적의 상태변화에서 열역학 제 1법칙

사전지식

https://kongdols-room.tistory.com/3

검사 질량에 관한 열역학 제 1법칙은 다음과 같다.

시간으로 미분하면

검사 체적에 유체가 들어오고 나갈 때 다음과 같은 단위 질량당 에너지를 가지고 들어오거나 나간다.

그리고 유체가 들어오거나 나갈 때 경계 이동에 의한 일이 늘 존재하는대 이도 역시 같이 고려해 주어야 한다. 일단 유동 일을 알기전에 유동일률부터 수식으로 나타낸다면

따라서 검사체적에서 나가는 유체의 유동 일률은 가 되고 검사 체적에서 들어오는 유동 일률은 가 된다. 따라서 단위 질량당 유동 일은 가 되고, 질량 유동과 관련된 총 에너지는 다음과 같이 된다,

검사 질량에 시간 미분한 식으로부터 유동에 관련된 에너지와 일을 고려하여 검사 체적에 관한 식으로 확장 한다면 다음과 같다.

일반적인 검사 체적에서는 여러 경로로 질량이 들어오거나 나갈 수 있으므로 이러한 항들을 함 할 필요가 있다. 열역학 제 1법칙의 최종 형태는 다음과 같다.

모든 유동항에는 질량당 운동 에너지와 위치에너지가 엔탈피와 같이 나타나므로, 다음 식과 같이, 총엔탈피 혹은 정체엔탈피와 같은 간단한 표현을 종종 사용한다.

이 표현을 사용하면 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.