열역학11-폴리트로픽 과정 유도, 고체 액체 이상기체에서의 엔트로피 변화, 이상기체의 가역폴리트로픽과정, 상태량 관계식,

열역학 상태량 관계식

  압축성 물질에 대해 다음과 같은 관계식은 중요하기 때문에 이 관계식을 유도하기로 한다.

여기서 T는 온도, S는 엔트로피, U는 내부에너지 P는 압력, V는 체적, H는 엔탈피이다.

첫 번째 관계식

  첫 번째 관계식은 정지해 있으며 중력의 영향을 받지 않는 단순 압축성 물질을 고려하여 유도 할 수 있있는대 이 물질에 대해 열역학 제 1법칙을 쓴다면 다음과 같다.

 

 여기서 Q는 열, W는 일이다. 

그리고 일어나는 과정이 가역과정이라면 아래와 같이표현이 가능하다.

 

이 값들을 첫째식에 대입을 한다면 아래와 같다.

두 번째 관계식

  엔탈피는 다음과 같이 정의되므로,

 이 식을 양변에 대해 전미분을 한다면 다음과 같다.

  VdP를 이항하여 식을 정리하면 다음과 같이 표현이 가능하다.

  위의 식을 첫 번째 관계식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

단위 질량에 대해 나타낸 관계식

위의 식을 단위 질량에 대해 나타내기 위해서는 양변에 질량을 나눔으로써 아래와 같이 표현이 가능하다.

여기서 소문자는 단위질량당 각 상태량을 나타낸다. 

고체와 액체에서 엔트로피 변화 계산

  일반적으로 내부 에너지 및 엔탈피 변화량은 간단히 비열로 표현할 수 있다. 따라서 다음과 같이 엔트로피 변화량을 계산 할 수 있다.

여기서 C는 고체 혹은 액체의 비열을 나타낸다.

  고체와 액체는 많은 과정에서 비열은 일정하다고 가정할 수 있다. 이 경우에 적분하면 다음과 같이된다.

  물론 비열이 같지 않더라도 비열 C는 온도의 함수로 알 수 있으므로 적분하면 엔트로피 변화량을 알 수 있다. 밑에 근사식은 가역 단열 과정에 무슨 일이 일어나는지 기술 한다. 

  이 과정에서 근사적으로 v가 일정하다고 가정하면 온도가 일정하다는 결론에 도달하므로 액체를 가압하면온도가 변하지 않는 이유가 설명이 된다.

이상기체에서 엔트로피 변화 계산

위의 식에서 R은 이상기체상수를 나타낸다.

표준 엔트로피의 정의

 

비열이 일정할 때 가역 단열과정에서의 폴리트로픽 과정의 유도

 

 

에서

이므로

 

이상기체방정식으로부터 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

따라서

 

이상기체의 가역폴리트로픽 과정

폴리트로픽 과정일 경우 log P와 log V의 그래프는 직선으로 나타난다.

 

이 식으로부터 다음과 같은 관계식을 쓸 수 있다.

이므로 이상기체로 이루어진 검사 질량에 대해서 가역 폴리트로픽 과정동안 경계가 하는 일은 다음과 같이 정의될 수 있다.

가역 등온 과정일 경우 (n=1일 때)

이상기체에서의 등온과정을 가정된 폴리트로픽 과정을 생각해본다면, T가 상수이므로 아래와 같이 표현이 가능하다.

 

이므로

각 이상과정에 대한 P-V선도와 T-S선도

각 이상과정이 P-v선도와 T-s선도에서 어떻게 진행되어지는지는 아래 그래프를 통해 확인할 수 있고, 각 과정에서의 특징적인 부분은 아래 표에 정리되어 있다.

 

등압 과정	n = 0	P = 일정
등온 과정	n = 1	T = 일정
등엔트로피 과정	n = k	s = 일정
등적 과정	n = ∞	v = 일정