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Mathematics32

가설검정(귀무가설, 대립가설, p-값)-확률과통계(22) 가설검정(귀무가설, 대립가설, p-값) 본 포스팅에서는 귀무가설(Null hypothesis)과 대안가설(Alternative hypothesis)에 대한 설명과, 가설검정을 위해 사용하는 p-값(p-value)에 대해 설명한다. 귀무가설(Null hypothesis)과 대안가설(Alternative hypothesis) 가설검정에 대해 다루기에 앞서 귀무가설과 대안가설이 무엇인지 설명하도록한다. ○ 귀무가설(Null hypothesis): 모집단 확률변수와 추정치가 차이가 없다는 가설이다. ▷ 영가설이라고도 불린다. ▷ 수학적 기호로 라고 표현한다. ○ 대안가설(Alternative hypothesis): 모집단 확률변수와 추정치가 차이가 있다는 가설이다. ▷ 수학적 기호로 라고 표현한다. 아래에 열거.. 2020. 8. 8.
신뢰구간추정(스튜던트 t-분포, 표준정규분포)-확률과통계(21) 신뢰구간추정(t-분포, 표준정규분포) 본 포스팅에서는 신뢰구간에 대한 설명(Confidence interval)과 스튜던트 t-분포(Student's t-distribution), 표준정규분포(Standard Normal Distribution)을 사용하여 신뢰구간을 추정하는 방법에 대해 서술하도록 한다. 신뢰구간(Confidence interval)이란?신뢰구간(Confidence interval)은 신뢰수준의 확률로 알려지지 않은 매개변수(Parameter) 가 있을 것으로 예상되는 구간이다. ○ 예를들어 신뢰수준이 95%인 구간 (A,B)가 있다면 해당 매개변수는 구간 (A,B)에 있을 확률이 95%이다. 신뢰수준(Confidence level)신뢰수준(Confidence level)은 매개변수가 .. 2020. 8. 4.
점추정(적률법, 최대우도추정)-확률과통계(20) 점추정(적률법, 최대우도추정) 본 포스팅에서는 점추정(Point estimate) 중 적률법(Method of Moments)과 최대우도추정(MLE, Maximum Likelihood Estimates)에 대해 다루도록한다. 적률법(Method of Moments) 적률법(Method of Moments)은 점추정방법 중 하나로 적률을 이용하여 모수를 점추정하는 방법이다. ○ 적률과 적률생성함수에 대한 설명은 이 링크(여기)에 있다. ○ 설명이 어렵지만 쉽게 설명해서 를 적률이라하며 이를 이용하여 점추정을 수행하는 방법이다. ▷ 아래 나오지만 실제로 평균을 추정하기 위해 를 사용한다. 한개의 매개변수에 대한 모수추정 점평가만약 알려지지 않은 매개변수 에 의존적인 확률분포로부터의 관측치 의 데이터 집합이 .. 2020. 8. 3.
점추정(비편향추정,최소분산평가)-확률과통계(19) 점추정(비편향추정,최소분산평가) 본 포스팅에서는 점추정, 그 중에서도 비편향추정(Unbiased Estimate)과 최소분산평가(Minimum Variance Estimate)에 대해 다루도록한다.좀 더 상세히는 비편향추정 중 성공확률의 점추정과 모집단평균 및 분산의 점추정, 최소분산평가 중 최소분산비편향평가(MVUE, Minimum Variance Unbiased Estimate), 상대효율(Relative efficiency), 평균좌승에러(MSE, Mean Squared Error) 등에 대해 설명한다. 비편향 추정(Unbiased Estimate) 점추정 매개변수 에 대한 는 아래와 같은 상황에서는 비편향(Unbiased)되었다고 불려진다. 만약 점추정이 비편항적이지가 않다면, 이것의 편향성(bi.. 2020. 8. 2.
표본분포(표본비율, 표본평균, 표본분산)-확률과통계(18) 표본분포(표본비율, 표본평균, 표본분산) 본 포스팅에선 표본분포에 대해 다루도록 한다.포본분포의 대표적인 예로 표본비율(Sample Proportion), 표본평균(Sample mean), 표본분산(Sample variance)의 분포가 존재한다.좀 더 상세히는 각 표본 매개변수가 어떤분포를 따르는지와, 표준오차(Standard error)에 대해 다룬다. 표본 분포(Sampling Distribution) 표분 분포(Sampling Distribution)는 모집단(Population)에서 임의로 추출하여 크기가 n인 확률표본 중 확률변수의 분포이다. ○ 모집단에서 임의로 추출한 표본은 표본 비율, 표본 평균, 표본 분산과 같은 값을 가질 수 있다. ▷ 표본비율(Sample Proportion): 모집.. 2020. 8. 1.
카이제곱분포, 스튜던트 t-분포, F-분포-확률과통계(17) 카이제곱분포, 스튜던트 t-분포, F-분포 본 포스팅에서는 카이제곱분포(Chi-Squared Distribution), 스튜던트 t-분포(Student's t-Distribution), F-분포(F-Distribution)에 대해 다루도록 한다.그리고 각 분포의 확률밀도함수(PDF), 예상치(평균)과 분산, 특징에 대해 설명해보도록 한다. 카이제곱분포(Chi-Squared Distribution) 카이제곱분포(Chi-Squared Distribution)의 확률변수 X는 ν의 자유도를 가지며 다음과 같이 정의된다.여기서 이며 각 확률변수는 독립적이다.즉, 카이제곱분포는 독립적인 표준정규분포 제곱의 합으로 구성되는 확률분포이며, 그래프는 다음과 같은 형상을 가진다. 중앙극한정리에 따르면 카이제곱분포에서 자.. 2020. 7. 28.
로그정규분포와 다변량정규분포-확률과 통계(16) 로그정규분포와 다변량정규분포 본 포스팅에서는 로그정규분포(Lognormal Distribution)와 다변량정규분포(Multivariate Normal Distribution)에 대해 다루도록한다.로그정규분포에 대해서는 확률밀도함수(PDF), 누적분포함수(CDF), 예상치(평균)과 분산과 그 증명 등에 대해서도 설명하고, 다변량정규분포에 대해서는 이변량정규분포(Bivariate Normal Distribute)와 다변량정규분포로의 일반화에 대해 다루도록 한다. 로그정규분포(Lognormal Distribution) 확률변수 X에 자연로그를 취할때의 분포가 정규분포를 따를 경우 로그정규분포라 한다. ○ 확률변수 X가 로그정규분포를 가지는 경우 아래와 같이 표현한다. ○ 아래 그림과 같이 로그정규분포는 대칭.. 2020. 7. 27.
정규분포의 선형조합과 근사분포 중심극한정리-확률과 통계(15) 정규분포의 선형조합과 근사분포 중심극한정리 본 포스팅에서는 정규분포의 선형조합과 정규분포를 이용한 근사분포, 중심극한정리 등을 다둬보도록 한다. 정규분포의 선형조합 정규분포의 특징 중 하나는 선형조합이 가능하다는 것이다. ○ 정규분포의 선형조합은 예상치와 분산의 합 또는 곱으로 표현이 가능하다. ○ 아래는 정규분포의 선형조합의 가장 단순한 형태인 aX+b의 조합을 보여준다. ▷ 아래 조합에서 a=1/σ, b=-μ/σ라 둔다면 표준정규분포와 같아지므로 참고하자. ○ 정규분포를 따르는 두 독립적인 확률변수들 X1, X2에 대해 다음과 같이 표현이 가능하다. ▷ 독립적이지 않다면 다음과 같이 표현할 수 없으므로 주의가 필요하다. ○ 위의 성질들을 확장하여 다수의 확률변수들의 선형조합을 표현하면 다음과 같다. .. 2020. 7. 26.
정규분포와 표준정규분포-확률과 통계(14) 정규분포와 표준정규분포 본 포스팅에서는 정규분포(Normal distribution)와 표준정규분포(Standard normal distribution)에 대해 다루도록 한다.정규분포의 확률밀도함수와 예상치(평균), 분산, 그리고 증명에 대해다루며, 표준정규분포에 대해서는 확률밀도함수, 누적분포함수,적률생성함수, 그리고 표준정규분포를 이용한 정규분포의 확률계산 등의 내용이 다뤄진다. 정규분포(Normal distribution) 정규분포(Normal distribution)는 연속확률분포중 하나이며 광범위하게 사용된다. ○ 확률분포중 가장 유명하며 가장 중요하게 다루는 확률분포이다. ○ 오류 분포(Error distribution)와 다른 많은 자연 현상을 직접 모델링하기 위한 확률분포이다. ○ 중심극한.. 2020. 7. 24.
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