카이제곱분포, 스튜던트 t-분포, F-분포-확률과통계(17)

카이제곱분포, 스튜던트 t-분포, F-분포

본 포스팅에서는 카이제곱분포(Chi-Squared Distribution), 스튜던트 t-분포(Student's t-Distribution), F-분포(F-Distribution)에 대해 다루도록 한다.

그리고 각 분포의 확률밀도함수(PDF), 예상치(평균)과 분산, 특징에 대해 설명해보도록 한다.

 

카이제곱분포(Chi-Squared Distribution)

 

카이제곱분포(Chi-Squared Distribution)의 확률변수 X는 ν의 자유도를 가지며 다음과 같이 정의된다.

여기서 이며 각 확률변수는 독립적이다.

즉, 카이제곱분포는 독립적인 표준정규분포 제곱의 합으로 구성되는 확률분포이며, 그래프는 다음과 같은 형상을 가진다.

중앙극한정리에 따르면 카이제곱분포에서 자유도 ν가 무한대로 간다면 다음과 같은 정규분포의 형태를 띄게된다.

  

확률밀도함수(PDF) 

카이제곱분포의 확률밀도 함수는 다음과 같다.

예상치(Expectation)와 분산(Variance)

카이제곱분포의 예상치와 분산은 다음과 같다.

 

카이제곱분포와 감마분포와의 관계

카이제곱분포는 감마분포의 특정 형태와 동일하다.

  ○ 정확히는 λ=1/2, k=v/2를 가지는 감마분포와 동일하다.

아래 과정은 위의 명제의 증명과정을 보여준다.

카이제곱분포는 다음과 같은 정의를 가진다.

여기서 는 독립적인 표준정규분포변수이다.

Step 1. 의 적률생성함수(MGF) 계산

Step 2. 카이제곱분포의 적률생성함수(MGF) 계산

Step 3. 카이제곱분포와 λ=1/2, k=n/2를 가지는 감마분포와의 비교

감마분포의 적률생성함수(MGF)는 다음과 같다.

카이제곱분포의 적률생성함수(MGF)는 다음과 같다.

따라서 카이제곱분포는 λ=1/2, k=v/2를 가지는 감마분포와 동일하다.

카이제곱분포가 λ=1/2, k=v/2를 가지는 감마분포와 동일하다는 사실을 이용한다면 확률밀도함수(PDF)는 다음과 같이 표현도 가능하다.

따라서 평균과 분산은 다음과 같다.

 

스튜던트 t-분포(Student's t-Distribution)

 

스튜던트 t-분포(Student's t-Distribution)는 정규분포의 평균측정시에 자주 사용되는 분포이다.

  ○ 표준정규분포를 카이제곱분포로 나눌 수 있다는 점에 착안하여 정의된 분포이다. 

  ○ 정규분포와 형태가 유사하지만 t-분포가 좀 더 평평하다. 

t-분포는 다음과 같이 정의된다.

여기서  이며 독립적이다.

  ○ Z는 표준정규분포 N(0,1)이다.

  ○ W는 자유도가 v인 카이제곱분포이다.

아래 그림은 스튜던트 t-분포의 그래프를 보여준다.

예상치(Expectation)와 분산(Variance)

스튜던트 t-분포의 특징

스튜던트 t-분포의 특징은 다음과 같다.

  ① v가 커질수록 표준정규분포와 유사해지며 무한대로 수렴할 경우 동일해진다.

  ② 정규분포와 같이 좌우 대칭이며, 기준점은 0이다.

① v값 증대에 따른 표준정규분포화

v가 커질수록 표준정규분포와 유사해진다는 특징은 다음과 같이된다.

여기서 W는 다음과 같은 카이제곱분포이며, 

여기서 W를 자유도로 나눈 값은 다음과 같으므로 v가 무한대에 가까워질 수록 카이제곱분포의 평균값은 1에 수렴하게된다.

따라서 분모가 1에 수렴하므로 t-분포는 표준정규분포에 수렴하게 된다.

 

② 좌우 대칭

0에서 대칭이라는 사실로부터 다음을 얻을 수 있다.

이를 그래프로 표현하면 다음과 같다.

따라서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

F-분포(F-Distribution)

 

F-분포(F-Distribution)는 각각의 자유도로 나눈 두 카이제곱분포의 분수로 구성된 분포이다.

  ○ F-분포는 F검정, 분산분석과 같은 분야에서 자주 사용된다.

  ○ 수식으로 표현한 정의는 다음과 같다.

여기서  이며 독립적이다.

  ○ 와 는 같지 않으므로 주의가 필요하다.

F-분포의 특징

F-분포는 다음과 같은 특징을 가지고 있다.

위의 특징은 아래와 같이 증명될 수 있다.

다음과 같은 2개의 F-분포를 가정한다.

에 대해 다음과 같이 정의된다.

그렇다면 다음과 같이 정리될 수 있다.