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연속균등분포와 지수분포-확률과 통계(10) 연속균등분포와 지수분포 본 포스팅에서는 연속균등분포(Continuous Uniform Distribution), 지수분포(Exponential Distribution)에 대해 다루도록 한다.더 상세하기는 각 분포의 예상치(평균), 분산의 증명과 지수분포에서 무기억성(Memoryless)의 특징에 대해 다뤄보도록한다. 연속균등분포(Continuous Uniform Distribution) 균등분포는 말 그대로 입력변수 x 값에 따라 균등한 확률을 가지는 분포를 의미하며 가장 단순한 확률분포 중 하나이다.X~U(a, b)로 표현할 수 있으며, a와 b사이의 값을 가지며, U(0,1)인 경우는 표준연속균등분포라 칭한다.확률밀도함수와 누적분포함수는 다음과 같이 표현 가능하다. 확률밀도함수(PDF) 누적분포함수(.. 2020. 7. 19.
푸아송분포, 다항분포-확률과 통계(9) 푸아송분포, 다항분포 본 포스팅에서는 푸아송분포(Poisson Distribution)와 다항분포(Multinomial Distribution)에 대해서 다루도록 한다.추가적으로 푸아송분포의 예상치(평균)와 분산의 증명에 대해서도 다뤄보도록 한다. 푸아송 분포(Poisson Distribution) 푸아송 분포는 특정 경계(시간, 공간 등) 내에서 일어나는 사건의 수의 분포를 나타낸다.다음은 푸아송 분포가 사용되는 예이다. ○ 특정 구역에서 탐지된 물건의 수 ○ 물질에서 방출되는 방사성입자의 수 ○ 주어진 시간에 전화교환원이 받은 전화의 수 파라미터 λ를 사용하는 푸아송의 확률변수라고 불려지는 확률변수 X는 다음과 같이 표현이 가능하다.푸아송 분포의 평균과 분산은 모두 λ로 동일하다. 확률질량함수(PMF.. 2020. 7. 16.
기하분포, 음이항분포, 초기하분포-확률과 통계(8) 기하분포, 음이항분포, 초기하분포 본 포스팅에서는 기하분포(Geometric Distribution), 음이항분포(Negative Binomial Distribution), 초기하분포(Hypergeometric Distribution)에 대해 다루도록한다.추가적으로 복원추출(with replacement)과 비복원추출(without replacement)이 무엇인지, 그리고 각 분포의 예상치(평균)와 분산의 증명과정에 대해서도 다뤄보도록 한다. 기하분포(Geometric Distribution) 독립적인 베르누이 시행(Bernoulli Trial)을 여러번 수행할 때 처음 성공까지 시도한 횟수의 분포이다. ○ 즉, 베르누이 시행에서 첫 성공까지의 실패 횟수의 분포이다. ○ 따라서 한번의 성공을 반드시 포.. 2020. 7. 16.
베르누이 시행과 이항분포-확률과 통계(7) 베르누이 시행과 이항분포 본 포스팅에서는 이항분포의 기초적인 내용에 대한 내용을 다루도록 한다.베르누이 확률변수(Bernoulli Random Variable)와 베르누이 시행(Bernoulli Trial), 이항분포(Binomial Distribution), 대칭이항 분포(Symmetric Binomial Distribution)에 대해 설명한다. 또한 이항분포의 예상치(평균)와 분산의 증명에 대해서도 설명한다. 베르누이 확률변수(Bernoulli Random Variables)와 베르누이 시행(Bernoulli Trial) 베르누이 확률변수(Bernoulli Random Variable) ○ 베르누이 확률변수는 0(실패)과 1(성공)으로만으로 결과를 표현한 확률변수이다. 베르누이 시행(Bernoull.. 2020. 7. 14.
확률변수의 선형함수와 선형조합-확률과 통계(6) 확률변수의 선형함수와 조합 본 포스팅에서는 확률변수의 선형함수(Linear Function)와 선형 조합(Linear Combination)에 대해 다루도록 한다.좀 더 상세하게는 확률변수의 표준화(Standardization)와 확률변수의 합 그리고 독립적인 확률변수의 평균화역시 다루도록 한다. 확률변수의 선형 함수 만약 각각의 확률변수 X, Y가 다음과 같은 선형적인 연관성(Y=aX+b)을 가지는 경우도 존재한다. ○ 이와 같이 함수에 따른 각 변수가 함수형태의 연관성을 가지고 있을 경우 각 변수를 다음과 같이 표현한다. ▷ X를 원인변수(Explanatory variable)라 칭한다. ▷ Y를 종속변수(Dependent variable)라 칭한다. 두 변수가 선형적인 관계를 가지고 있을 경우 예상.. 2020. 7. 13.
결합확률, 공분산, 상관계수-확률과 통계(5) 결합확률, 공분산, 상관계수 본 포스팅에서는 결합확률(Joint Probability)과 공분산(Covariance), 상관계수(Correlation)에 대한 내용을 다루도록 한다.그리고 결합확률과 관련된 내용인 주변확률분포(Marginal Probability Distribution)와 조건부확률분포(Conditional Probability Distribution)에 대해서도 다뤄보도록 한다. 결합확률(Joint Probability) 결합확률(Joint Probability)결합확률은 두 가지 사건이 동시에 일어날 확률을 의미한다. ○ 예를들어 A라는 사건과 B라는 사건이 동시에 일어날 확률을 의미하므로 조건부 확률과는 다른 개념이다.따라서 다음과 같이 2차원 형태로 확률을 표시할 수 있다. 이산형.. 2020. 7. 12.
체비쇼프 부등식과 분위수-확률과 통계(4) 체비쇼프 부등식과 분위수 본 포스팅에서는 체비쇼프 부등식(Chebyshev's Inequality)과 확률변수의 분위수(Quantile) 및 사분위수(Quartile)에 대해 다루도록한다. 체비쇼프 부등식(Chebyshev's Inequality)체비쇼프 부등식의 이름은 러시아의 수학자 파프누티 체비쇼프에서 따왔다. 만약 확률변수가 평균치 μ를 가지고 분산 σ²을 가진다면 그때에 다음과 같은 관계가 성립한다.이 식은 주어진 확률분포의 평균값으로부터 의 범위 내에 있을 확률이 이상 차지한다는 의미를 가지는 부등식이다. ○ 반대로 생각하면 평균값으로부터 의 범위 밖에 있을 확률이 이하라는 의미와 같다. 이 부등식은 일반적으로 어떤 확률분포에도 성립한다는 특징을 가진다. 또한 평균값이 특정 구간에 포함될 확률.. 2020. 7. 11.
기댓값, 중앙값, 분산, 표준편차, 대칭확률변수-확률과 통계(3) 기댓값, 중앙값, 분산, 표준편차, 대칭확률변수 본 포스팅에서는 기대값(Expectation), 중앙값(Median), 분산(Variance), 표준편차(Standard Deviation), 대칭확률변수(Symmetric Random Variables)에 대해 다룬다. 확률 기초 변수 기대값(Expectation), 평균값(Mean)기대값은 특정 표본공간 내에서 기대되는 값이며, 확률변수의 평균값이라고도 불린다.확률질량함수(이산적)와 확률밀도함수(연속적)에서의 기대값 계산은 본질적으로는 같으나 방식이 약간 다르다. ○ 확률질량함수에 대해 기대값은 다음과 같이 계산될 수 있다. ▷ 이산적인 데이터를 가지고 계산을 수행하므로 모든 데이터와 확률의 곱을 일일히 더하여야 한다. ○ 확률밀도함수 f(x)에 대해 .. 2020. 7. 9.
조건부확률, 사후확률, 베이즈정리-확률과 통계(2) 조건부 확률(Conditional Probability) 본 포스팅에서는 조건부 확률(Conditional Probability), 사후확률(Posterior Probability), 베이즈 정리(Bayes' Theorem)에 대해 다루도록 한다. 조건부 확률(Conditional Probability) 조건부확률은 특정 사건이 일어났을 때 연달아 다른 사건이 일어나는 것을 확률로 나타낸 것이다.사건 A와 B를 예로들면 B가 일어났을때 A가 일어날 확률을 구하는 것이 조건부확률이 된다.조건부 확률은 다음과 같이 표현될 수 있다. 위의 경우에서는 P(B)가 분모로 들어가므로 0보다 커야 한다.다음과 같은 특수한 상황에 대해서는 각각 제시된 수식이 성립한다. ○ 인 경우 ○ 인 경우 일반화된 곱의 법칙(Ge.. 2020. 7. 8.
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