가설검정(유의수준, t-검정, z-검정)-확률과통계(23)

가설검정(유의수준, z-검정)

본 포스팅에서는 유의수준(Significance level)과 표준정규분포를 이용한 z-검정에 대해서 다룰 것이다.

가설검정의 유의수준(Significance level)

오류의 종류: 검정을 수행할 때 다음과 같은 오류가 존재한다.

  ○ 1종오류(type I error): 귀무가설이 참일때 이를 잘못 기각함으로써 발생하는 오류

    ▷ 1종 오류의 발생 가능성은 α보다 크지 않다.

  ○ 2종오류(type II error): 귀무가설이 거짓일때 이를 잘못 채택함으로써 발생하는 오류

유의수준(Significance level)은 가설검정에 사용되는 기준값으로써, 1종 오류 확률의 상한으로 정의된다.

  ○ 신뢰수준이 1-α라면 α가 유의수준이 된다. 

  ○ 일반적으로 α는 0.1, 0.05, 0.01을 주로 사용한다. 

 

유의수준 혹은 크기 α를 사용하는 가설검정의 귀무가설의 채택과 기각은 다음과 같이 선택된다.

  ○ α보다 p값이 작다면 귀무가설을 기각한다.

  ○ α보다 p값이 크다면 귀무가설을 채택한다.

 

양방향 문제(t-검정)

모집단평균에 대한 양방향 가설검정에 대해 크기 α 검정은 다음과 같다.

검정통계의 값 |t|가 다음과 같이 기각영역에 있다면 귀무가설을 기각한다. 

검정통계의 값 |t|가 다음과 같이 채택영역에 있다면 귀무가설을 채택한다. 

 

신뢰구간과 가설검정 간의 관계

양방향 가설검정에 대해 만약 p-값이 α보다 크다면, 1-α 수준의 양방향 신뢰구간 이내에 가 존재한다.

  

  

  ○ 1-α 수준의 양방향 신뢰구간 이내에 가 존재한다면, 크기 α를 사용한 가설검정은 귀무가설을 채택한다.

  ○ 1-α 수준의 양방향 신뢰구간 이내에 가 존재하지 않는다면, 크기 α를 사용한 가설검정은 귀무가설을 기각한다.

모집단평균에 대한 단방향 추론(t-검정)

단방향 가설에 대한 크기 α 검정은 다음과 같다.

다음과 같다면 귀무가설을 기각한다.

다음과 같은 상황에서는 귀무가설을 채택한다.

1-α 수준의 상방 신뢰구간은 다음과 같다. 이 가설 검증 문제는 α보다 큰 p값을 가지는 값으로 구성되어 있다.

  

  가설검정가 신뢰구간의 관계는 다음 그림과 같다.

 

모집단평균에 대한 단방향 추론(t-검정)

단방향 가설에 대한 크기 α 검정은 다음과 같다.

다음과 같다면 귀무가설을 기각한다.

다음과 같은 상황에서는 귀무가설을 채택한다.

1-α 수준의 상방 신뢰구간은 다음과 같다. 이 가설 검증 문제는 α보다 큰 p값을 가지는 값으로 구성되어 있다.

  

가설검정과 신뢰구간의 관계는 다음 그림과 같다.

  

가설검정의 검정력(Power of hypothesis Test)

가설검증의 검정력은 다음과 같이 정의된다.

이는 귀무가설검정이 거짓일 때 귀무가설이 기각되는 확률을 나타낸다.

큰 검정력 수준과 짧은 신뢰구간은 둘 다 실험(Experiment)의 정밀도를 증가시키는 것을 의미한다.

가설검정과 신뢰구간은 다음그림과 같은 유사성을 가진다.

 

z-검정(z-Test)

z-검정은 앞선 방식과는 약간 다르게 표준정규분포를 사용하여 검정을 수행한다.

t-검정과 z-검정은 과정이 동일하게 진행되나 다음과 같은 차이가 있다.

  ○ t-검정은 모집단 분산 σ을 모르는 경우이며, t-분포를 사용하여 검정을 한다.

  ○ z-검정은 모집단 분산σ을 아는 경우이며, 표준정규분포를 사용하여 검정을 한다.

양방향 z 검정

z-검정에서 양방향 가설검정 문제에 대해 p-값은 다음과 같이 표현이 가능하다.

이때 조건은 n개의 관측치의 표본평균은 ,이고 알고 있는 모집단 표준편차 σ값을 사용한다.

는 표준 정규누적분포함수(Standard Normal Cumulative Distribution Function)이다.

z는 z-통계량(z-statistic)으로 불리며 다음과 같이 계산된다.

  

크기 α 검정은 만약 검정 통계 |z|가 다음과 같은 기각영역에 존재할 경우 귀무가설을 기각한다.

크기 α 검정은 만약 검정 통계 |z|가 다음과 같은 채택영역에 존재할 경우 귀무가설을 기각한다.

1-α 수준의 양방향 신뢰구간은 다음과 같다. 이 가설 검증 문제는 α보다 큰 p값을 가지는 값 으로 구성되어 있다.

모집단평균에 대한 단방향 추론

단방향 가설검정 문제에 대해 p값은 다음과 같이 표현이 가능하다.

이때 조건은 n개의 관측치의 표본평균은 ,이고 알고 있는 모집단 표준편차 σ값을 사용한다.

는 표준 정규누적분포함수(Standard Normal Cumulative Distribution Function)이다.

z는 z-통계(z-statistic)로 불리며 다음과 같이 계산된다.

다음과 같다면 귀무가설을 기각한다.

다음과 같다면 귀무가설을 채택한다.

1-α 수준의 신뢰구간은 다음과 같다. 이 가설 검증 문제는 α보다 큰 p-값을 가지는 값으로 구성되어 있다.

모집단평균에 대한 단방향 추론

단방향 가설검정 문제에 대해 p값은 다음과 같이 표현이 가능하다.

이때 조건은 n개의 관측치의 표본평균은 ,이고 알고 있는 모집단 표준편차 σ값을 사용한다.

는 표준 정규누적분포함수(Standard Normal Cumulative Distribution Function)이다.

z는 z-통계(z-statistic)로 불리며 다음과 같이 계산된다.

다음과 같다면 귀무가설을 기각한다.

다음과 같다면 귀무가설을 채택한다.

1-α 수준의 신뢰구간은 다음과 같다.