사건의 여집합, 교집합, 합집합-확률과 통계(1)

사건의 여집합, 합집합, 교집합

본 포스팅에서는 사건의 여집합(Complement), 합집합(Union), 교집합(Intersection)을 다루도록 한다.

그외에 상호배타적사건(Mutually Exclusive Events)에 대한 설명도 간략히 다루도록 한다.

사건의 여집합

여집합(Complement)

  ○ 여집합은 표본공간에서 특정 사건(event)를 제외한 나머지 것들을 의미한다. 

  ○ 사건 A에 대한 여집합은 A'로 표기한다. 

  ○ 사건 A에 대한 여집합 A'은 사건 A을 제외한 모든 사건을 의미한다. 

  ○ 따라서 모든 경우에 대해서 다음과 같다.

  ○ 아래 그림은 표본 공간에서 여집합의 영역을 보여주는 그림이다.

종종 사건이 하나의 단독의 결과로 구성되는 경우가 있는데, 이를 단순사건(simple events) 혹은 기본사건(elementary)이라 부른다.

사건의 교집합

교집합(Intersection)

  ○ 다수의 사건들이 공통적으로 가지고 있는 결과들이 있다면 이것이 사건들의 교집합이된다.

  ○ 즉, 교집합의 의미는 사건 A와 B 둘 다 포함하고 있는 결과들을 의미한다. 

  ○ 역으로 생각하면 하나의 결과가 일어나면 사건 A와 B가 둘 다 일어났음을 의미한다.

  ○ 사건 A와 B의 교집합은 다음과 같이 표현될 수 있다: 

  ○ 아래 그림은 표본공간 내에서 두 사건의 교집합을 보여주는 예이며, 겹친 보라색 부분이 교집합의 영역을 나타낸다.

교집합과 관련된 공식

교집합과 관련하여 다음과 같은 법칙들이 존재한다.

교환법칙: 

멱등법칙: 

결합법칙: 

그외

  ○ 

  ○ 

사건의 합집합

합집합(Union)

  ○ 다수의 사건들의 모든 결과를 모아둔 것이 합집합이다.

  ○ 사건들의 합집합은 각 사건들의 결과를 모두 다 포함하고 있다. 

  ○ 즉, 사건들 중 최소 하나에 포함이 된다면 해당 결과는 해당 합집합에 포함된다고 볼 수 있다. 

  ○ 사건 A와 B의 합집합은 다음과 같이 표현될 수 있다: 

  ○ 아래 그림은 표본공간 내에서 두 사건의 합집합 영역을 보여주는 그림이다.

합집합과 관련된 공식

합집합과 관련하여 다음과 같은 법칙들이 존재한다.

교환법칙: 

결합법칙: 

드모르간법칙:

  ○ 

  ○ 

그외

  ○ 

  ○ 

  ○ 

  ○ 

확률의 합집합

확률에서 합집합 및 교집합과 관련하여 다음과 같이 될 수 있다.

  ○ 

  ○ 

  ○ 

만약 사건 A와 B가 서로 상호배타적(Mutually Exclusive)이라면 다음과 같이 될 수 있다.

  ○ 

※ 상호배타적사건(Mutually Exclusive Events)

두 사건 A와 B의 교집합이 공집합이라면, 사건 A와 B를 상호배타적사건이라 한다.

혹은 여러 사건들의 합집합이 다음과 같이 두 확률의 합으로 표현될 수 있으면 이 역시 상호배타적사건이라 볼 수 있다.

  

세 개 이상의 사건에 대한 조합

사건 A, B, C의 합집합의 확률은 다음과 같이 계산 될 수 있다. 

만약 사건 A, B, C의 가 서로 상호배타적이라면 다음과 같이 단순히 각 사건의 확률값의 합으로 계산 될 수 있다. 

세개 이상의 사건에 대해 모든 사건이 서로 상호배타적이라면 다음과 같이 확률이 계산될 수 있다.